Elastic Curve की Equation और Beam Deflection की Hindi Guide

जब किसी beam पर external load apply किया जाता है, तो beam bend हो जाती है। यह bending एक curve की तरह दिखाई देती है जिसे हम Elastic Curve कहते हैं। इस curve की shape और deflection निकालने के लिए कुछ mathematical equations और structural concepts का उपयोग किया जाता है।

Elastic Curve क्या होती है?

Elastic curve किसी beam की वो shape होती है जो loading के कारण वो adopt करती है। इसका analysis करने से हमें पता चलता है कि beam का कौन-सा हिस्सा कितना deflect कर रहा है और कहां maximum deflection हो रहा है।

Beam Deflection के लिए Differential Equation

Elastic curve को represent करने वाली basic differential equation होती है:

EI × d²y/dx² = M(x)

E = Modulus of Elasticity
I = Moment of Inertia of beam cross-section
y = Vertical deflection of the beam
x = Horizontal position along beam
M(x) = Bending moment at distance x

Equation को integrate करके हम deflection और slope निकालते हैं। Integration के बाद दो constants C₁ और C₂ मिलते हैं, जिन्हें boundary conditions से solve किया जाता है।

Beam Deflection निकालने के Steps

Bending Moment equation M(x) तैयार करें
Differential equation EI d²y/dx² = M(x) में M(x) put करें
दो बार integrate करें ताकि slope (dy/dx) और deflection (y) मिले
Boundary conditions apply करके constants C₁ और C₂ निकालें
Required point पर y(x) से deflection calculate करें

Common Boundary Conditions

Simply Supported Beam: End points पर deflection zero होता है
Fixed Beam: End points पर deflection और slope दोनों zero होते हैं
Cantilever Beam: Fixed end पर deflection और slope zero होता है, जबकि free end पर maximum deflection होता है

Example: Simply Supported Beam

मान लीजिए 6 m लंबी simply supported beam पर center पर 10 kN का load है:

Bending Moment = (W × x × (L - x)) / L
EI d²y/dx² = M(x)
Integrate और boundary conditions apply करके y(x) निकालें
Center पर (x = L/2) maximum deflection आता है

Conclusion

Elastic Curve और उसकी equation structural engineering का fundamental हिस्सा हैं। Beam deflection की सही calculation structure की safety और efficiency सुनिश्चित करती है। Macaulay’s Method, Area Moment Method और numerical tools का use करके हम deflection values को precise तरीके से निकाल सकते हैं।