Beam Deflection कैसे निकालते हैं? Macaulay’s Method और Area Moment Method समझें

Beam deflection का मतलब है कि जब beam पर load लगता है तो वो कितनी नीचे झुकती है। इस deflection का accurate अनुमान structural design के लिए बहुत जरूरी होता है। इस ब्लॉग में हम दो प्रसिद्ध तरीकों – Macaulay’s Method और Area Moment Method को सरल भाषा में समझेंगे।

1. Macaulay’s Method

यह method statically indeterminate beams में बहुत उपयोगी होता है। इसमें हम beam को एक general equation की मदद से represent करते हैं और फिर boundary conditions से constants निकालते हैं।

General Equation:

EI d²y/dx² = M(x)
जहाँ M(x) = Macaulay bracket की मदद से लिखा गया bending moment expression होता है।

Macaulay Bracket Notation:

Macaulay’s method में हम load points के बाद bracket notation ⟨x – a⟩ⁿ का प्रयोग करते हैं, जो सिर्फ तभी activate होता है जब x > a हो।

Steps:

Bending moment equation लिखें (with Macaulay’s bracket)
EI d²y/dx² = M(x) को integrate करें दो बार
Boundary conditions से constants C₁ और C₂ निकालें
Required point पर y(x) की value निकालें (जो deflection देगा)

2. Area Moment Method

Area Moment Method deflection और slope निकालने का graphical और theoretical तरीका है। इसमें bending moment diagram के area और centroid का प्रयोग किया जाता है।

Important Theorems:

Theorem 1: किसी point पर slope का change = उस point के left और right के बीच BMD का area / EI
Theorem 2: दो points के बीच deflection = उस area का moment उसके centroid से

Steps:

Bending Moment Diagram बनाएं
Required span के लिए area निकालें
Area का moment निकालें (distance × area)
Slope और deflection formulas apply करें

Example:

Simply supported beam of 4m span पर center में 10kN का point load लगा है। Macaulay या area moment method दोनों से mid-point पर deflection निकाला जा सकता है:

Max Deflection = (W×L³) / (48×EI)
= (10×10³ × 4³) / (48×E×I)

Conclusion

Beam deflection निकालने के लिए Macaulay’s Method और Area Moment Method दोनों ही उपयोगी हैं। पहला algebraic approach है जबकि दूसरा geometrical. Structure safety और comfort design के लिए इनका सही उपयोग जरूरी है।