Fourier Transform for Periodic Signals in Hindi | Impulse Train Representation | My Project HD

Fourier Transform for Periodic Signals क्या होता है? | हिंदी में समझें

Fourier Transform for Periodic Signals क्या होता है?

Fourier Transform आमतौर पर aperiodic (non-periodic) signals के लिए use किया जाता है, लेकिन इसे periodic signals पर भी apply किया जा सकता है — और इस स्थिति में यह Fourier Series से जुड़ जाता है।

Periodic Signal की पहचान

यदि कोई signal x(t) ऐसा है कि:

x(t) = x(t + T), ∀ t

तो यह signal periodic कहलाता है और इसका fundamental period T होता है।

Fourier Transform of Periodic Signals

यदि कोई signal periodic है, तो उसका Fourier Transform delta functions के infinite sum के रूप में आता है:

Mathematical Expression:

x(t) = ∑_{n = -∞}^∞ cₙ·e^{j·n·ω₀·t}

⇒ X(f) = ∑_{n = -∞}^∞ cₙ·δ(f - n·f₀)

जहाँ:

f₀ = 1/T (fundamental frequency)
cₙ = (1/T) ∫₀^T x(t)·e^{-j·n·ω₀·t} dt (Fourier series coefficients)

Representation:

Periodic signals के Fourier Transform में spectrum impulses (δ functions) होते हैं।
Impulse की location harmonics पर होती है: f = n·f₀
Amplitude impulses के height = Fourier Series coefficients cₙ

Example

x(t) = cos(2πf₀t) का Fourier Transform:

X(f) = ½·[δ(f - f₀) + δ(f + f₀)]

यह दर्शाता है कि periodic cosine का spectrum दो impulses में बंटा होता है।

Properties

Impulse Train in Frequency Domain: Periodic signal का transform impulses का infinite train होता है।
Energy नहीं, Power signals: Periodic signals energy signals नहीं होते, बल्कि power signals होते हैं।
Spectrum Repetition: Harmonics की वजह से frequency domain में repetition होता है।

निष्कर्ष (Conclusion)

Periodic signals का Fourier Transform discrete impulses के रूप में होता है, जो signal की frequency content को दर्शाते हैं। यह analysis communication systems, audio processing, और spectral representation के लिए बहुत उपयोगी है।