Inverse z-Transform क्या है? | Methods और Examples हिंदी में

Inverse z-Transform क्या होता है?

Inverse z-Transform का उपयोग z-domain में दिए गए किसी signal को वापस time-domain में लाने के लिए किया जाता है।

अगर X(z) एक signal का z-transform है, तो उसका inverse x[n] इस प्रकार निकाला जाता है:

x[n] = Z⁻¹{X(z)}

Inverse z-Transform के Methods:

1. 1. Partial Fraction Expansion Method:
   जब X(z) को rational function के रूप में लिखा जा सके, तो उसे partial fractions में expand कर के individual terms का inverse लिया जाता है।
   Useful for causal sequences.
2. 2. Long Division Method:
   जब numerator की degree ≤ denominator की degree हो, तो X(z) को divide करके series के रूप में लिखा जाता है।
   Useful for both causal and anti-causal sequences.
3. 3. Residue (Contour Integration) Method:
   Complex integration के जरिए, signal को mathematically extract किया जाता है:
   x[n] = (1/2πj) ∮ X(z)·zⁿ⁻¹ dz
   Advanced level पर use किया जाता है।

Example using Partial Fraction:

X(z) = (z) / (z − 0.5)(z − 0.25)

• Step 1: Expand in partial fractions
• Step 2: Find inverse of each term using z-transform table
• Step 3: Combine and write x[n]

Example using Long Division:

X(z) = 1 / (1 − 0.5z⁻¹)

• Divide and write as geometric series
• Result: x[n] = (0.5)ⁿ·u[n]

निष्कर्ष (Conclusion)

Inverse z-Transform signal processing और system analysis में fundamental tool है। इसके ज़रिए हम system की time-domain behavior को समझ सकते हैं। विभिन्न methods का चुनाव signal और ROC के आधार पर किया जाता है।