DTFT की Convergence क्या है? | Discrete Time Fourier Transform के लिए शर्तें


DTFT (Discrete Time Fourier Transform) क्या है?

Discrete Time Fourier Transform एक mathematical technique है जो किसी discrete-time signal को frequency domain में represent करती है। यह infinite length के non-periodic signals के लिए उपयोग होता है।

DTFT की Mathematical Form:

X(ejω) = ∑n=-∞∞ x[n]·e-jωn

DTFT की Convergence क्या होती है?

DTFT की convergence का अर्थ है कि ऊपर दिया गया summation expression किसी finite और meaningful value पर पहुंचे। यदि यह sum diverge करता है (अर्थात ∞ हो जाता है), तो Fourier Transform exist नहीं करता।

Convergence के लिए शर्त (Condition for Convergence)

  1. Absolutely Summable Condition: यदि signal x[n] की absolute value का summation finite हो, यानी ∑n=-∞∞ |x[n]| < ∞ तो DTFT निश्चित रूप से converge करता है।
  2. Square Summable Signals: यदि ∑ |x[n]|² < ∞ हो, तो DTFT in mean square sense converge करता है, लेकिन pointwise ज़रूरी नहीं।
  3. Bounded Signals: कुछ bounded signals जिनके values decay नहीं करते (e.g. sinusoidal signals), उनका DTFT exist नहीं करता, लेकिन generalized sense में define किया जा सकता है।

Convergence का प्रकार (Types of Convergence)

  1. Pointwise Convergence: जब X(ejω) हर ω पर finite हो।
  2. Uniform Convergence: जब convergence सभी ω के लिए एकसमान हो।
  3. Mean-square Convergence: जब energy finite हो लेकिन absolute convergence न हो।

Examples

  1. x[n] = (0.5)|n| ⇒ Absolutely summable ⇒ DTFT converges
  2. x[n] = sin(πn/2) ⇒ Not absolutely summable ⇒ No pointwise convergence

निष्कर्ष (Conclusion)

DTFT की convergence signal की nature पर निर्भर करती है। यदि कोई signal absolutely summable है, तो उसका DTFT guaranteed converge करता है। अन्य conditions में mean-square convergence भी useful हो सकती है, लेकिन generalized analysis की आवश्यकता होती है।

Related Post

Comments

Comments