z-Transform की मदद से Discrete-Time LTI System का Analysis | हिंदी में समझें


z-Transform से Discrete-Time LTI System का विश्लेषण

Linear Time-Invariant (LTI) Systems को analyze करने के लिए z-transform एक powerful tool है। इससे system का behavior frequency और pole-zero perspective से आसानी से समझा जा सकता है।

System Representation:

LTI system को difference equation से represent किया जाता है:

y[n] + a₁·y[n−1] + … + aN·y[n−N] = b₀·x[n] + b₁·x[n−1] + … + bM·x[n−M]

इस equation पर z-transform लगाने से:

Y(z)·(1 + a₁·z⁻¹ + … + aN·z⁻ᴺ) = X(z)·(b₀ + b₁·z⁻¹ + … + bM·z⁻ᴹ)

Transfer Function H(z):

System का Transfer Function:

H(z) = Y(z)/X(z) = B(z)/A(z)

  • जहाँ B(z): numerator polynomial (input side)
  • A(z): denominator polynomial (output side)

Analysis के Key Steps:

  1. 1. Difference Equation से H(z) प्राप्त करें
  2. 2. H(z) के poles और zeros निकालें
  3. 3. ROC (Region of Convergence) निर्धारित करें
  4. 4. Stability check करें: अगर ROC में unit circle शामिल है → system stable है
  5. 5. Inverse z-transform से impulse response h[n] निकालें

Example:

Given: y[n] − 0.5·y[n−1] = x[n]

  • Apply z-transform:
  • Y(z) − 0.5·z⁻¹·Y(z) = X(z)
  • ⇒ Y(z)·(1 − 0.5·z⁻¹) = X(z)
  • ⇒ H(z) = Y(z)/X(z) = 1 / (1 − 0.5·z⁻¹)

Now: Find inverse z-transform → h[n] = (0.5)n·u[n]

निष्कर्ष (Conclusion)

z-Transform का उपयोग करके हम LTI systems को algebraically analyze कर सकते हैं, transfer function से उनका behavior समझ सकते हैं, और impulse response निकाल सकते हैं। यह system की stability और frequency domain characteristics को समझने में मदद करता है।

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