Decomposition for N (Composite Number) क्या होता है?


Decomposition for N (Composite Number) क्या होता है?

जब N कोई composite number होता है (e.g. 6, 8, 12), तो Discrete Fourier Transform (DFT) को efficiently compute करने के लिए हम FFT algorithm में decomposition techniques का use करते हैं।

इस decomposition में N को दो या अधिक छोटे factors में तोड़ा जाता है जैसे:

N = N1 × N2

इस process को Radix-N Decomposition कहते हैं। यह Cooley-Tukey FFT algorithm का हिस्सा होता है।

Decomposition का उद्देश्य:

  • Computational complexity को कम करना
  • Large DFT को छोटे-छोटे manageable DFTs में divide करना
  • Speed और efficiency improve करना

Radix-N Decomposition के प्रकार:

  • Radix-2: जब N = 2^k
  • Radix-4: जब N = 4^k
  • Mixed-Radix: जब N को unequal prime factors में divide किया जाता है, जैसे N = 6 = 2 × 3

Mathematical Structure:

DFT को N = N1 × N2 के रूप में factor किया जाता है, और computation को nested loops में divide किया जाता है।

Cooley-Tukey Algorithm Concept:

Cooley-Tukey method में DFT को recursively smaller DFTs में तोड़ा जाता है:

    X[k] = Σr=0N2−1 [ WNrk × DFTN1 ]

जहां WNrk twiddle factors होते हैं जो stage-wise rotation को represent करते हैं।

Example:

मान लीजिए N = 6, जो कि composite number है:

  • Break it as N1 = 2, N2 = 3
  • Compute 2-point DFT → फिर 3-point DFT
  • Use twiddle factor W₆kn in between
  • Final output efficiently calculated होगा

Advantages:

  • Efficient memory और speed optimization
  • Non-power-of-two lengths handle कर सकते हैं
  • Real-time DSP systems में flexibility provide करता है

Applications:

  • Non-uniform sampling signals
  • Digital communication systems
  • Radar/sonar processing
  • Adaptive filter structures

निष्कर्ष (Conclusion):

Decomposition for N (जहां N composite हो) एक powerful FFT technique है जो flexibility और efficiency दोनों provide करती है। यह large-size DFTs को छोटे manageable units में तोड़कर overall processing speed को काफी बढ़ा देता है।

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