Circular Convolution क्या है? | परिभाषा, सूत्र और उदाहरण | हिंदी में


Circular Convolution क्या है?

Circular Convolution एक प्रकार की convolution होती है जो finite-length sequences पर circular (modulo-N) 방식 से की जाती है। यह Discrete Fourier Transform (DFT) के context में बहुत उपयोगी होती है।

आवश्यकता (Why Circular Convolution?)

  1. जब दो signals की length fixed हो और DFT द्वारा convolution करनी हो।
  2. Digital signal processors में signals को circular buffer के रूप में store किया जाता है।
  3. Linear convolution को circular में बदलकर efficient computation किया जा सकता है।

Circular Convolution का गणितीय सूत्र:

मान लीजिए दो sequences हैं:

  • x[n] = {x0, x1, ..., xN-1}
  • h[n] = {h0, h1, ..., hN-1}

तो Circular convolution:

y[n] = Σk=0N-1 x[k] · h[(n - k) mod N]

यहाँ mod N का मतलब है कि index wrapping की जाती है जब n - k negative या N से ज़्यादा हो जाता है।

Steps to Perform Circular Convolution (Time Domain)

  1. दोनों sequences को same length (N) में बनाएँ।
  2. एक sequence को reverse करें और circularly shift करें।
  3. Point-wise multiplication और sum करें हर step पर।
  4. यह process N बार करें।

उदाहरण (Example)

मान लीजिए:

x[n] = {1, 2, 3}
h[n] = {4, 5, 6}

दोनों की length 3 है। Circular convolution करने पर:

y[0] = 1·4 + 2·6 + 3·5 = 4 + 12 + 15 = 31
y[1] = 1·5 + 2·4 + 3·6 = 5 + 8 + 18 = 31
y[2] = 1·6 + 2·5 + 3·4 = 6 + 10 + 12 = 28

⇒ Output: y[n] = {31, 31, 28}

DFT के द्वारा Circular Convolution:

  1. X[k] = DFT{x[n]}
  2. H[k] = DFT{h[n]}
  3. Y[k] = X[k] · H[k]
  4. y[n] = IDFT{Y[k]}

यह method computation को तेज़ (fast) बनाने में मदद करता है, खासकर जब FFT algorithm उपयोग हो।

Linear vs Circular Convolution

Linear ConvolutionCircular Convolution
Length = N + M - 1Length = max(N, M)
No wrap-aroundWrap-around होती है
Used in LTI systemsUsed with DFT/FFT

निष्कर्ष (Conclusion)

Circular Convolution DSP का एक महत्वपूर्ण concept है, खासकर जब हम frequency domain (DFT/FFT) में काम करते हैं। इसकी समझ signal processing में efficiency बढ़ाने के लिए जरूरी है।

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