Discrete Fourier Series (DFS) क्या है? परिभाषा, समीकरण और गुण | हिंदी में


Discrete Fourier Series (DFS) क्या है?

Discrete Fourier Series (DFS) एक mathematical technique है जिसका उपयोग periodic discrete-time signals को frequency domain में represent करने के लिए किया जाता है। यह continuous Fourier series का discrete-time version होता है।

DFS का उपयोग क्यों किया जाता है?

  1. Periodic signals को frequency components में तोड़ने के लिए।
  2. Signal analysis और system design में उपयोगी।
  3. Digital filters और spectrum analysis के लिए foundation तैयार करता है।

DFS का गणितीय निरूपण (Mathematical Representation)

मान लीजिए कि एक periodic discrete-time signal x[n] की period N है, तो इसका DFS representation इस प्रकार होता है:

Analysis Equation:

X[k] = (1/N) ∑n=0N-1 x[n] * e-j(2πkn/N)

Synthesis Equation:

x[n] = ∑k=0N-1 X[k] * ej(2πkn/N)

यहां,

  • x[n] = discrete-time signal
  • X[k] = DFS coefficients
  • N = Period of the signal

DFS के प्रमुख गुण (Properties of DFS)

  1. Linearity: DFS linear operation को preserve करता है।
  2. Time Shifting: Time-domain में shift करने पर DFS में phase shift होता है।
  3. Frequency Shifting: DFS coefficients frequency domain में shift होते हैं।
  4. Parseval’s Theorem: Signal की total energy को time और frequency दोनों domain में मापा जा सकता है।

उदाहरण (Example)

मान लीजिए: x[n] = {1, 2, 3, 4} और N = 4

तो DFS coefficients X[k] निकालने के लिए ऊपर दिए गए analysis equation का उपयोग करें।

निष्कर्ष (Conclusion)

Discrete Fourier Series periodic discrete-time signals को analyze करने के लिए एक शक्तिशाली टूल है। यह digital signal processing का एक मूलभूत concept है जो आगे चलकर DFT और FFT की ओर बढ़ता है।

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