Multistage Graph in Hindi | मल्टीस्टेज ग्राफ क्या है?


मल्टीस्टेज ग्राफ क्या है? (Multistage Graph in Hindi)

मल्टीस्टेज ग्राफ (Multistage Graph) एक वेटेड डायरेक्टेड ग्राफ (Weighted Directed Graph) होता है, जिसमें वर्टिस (Vertices) को विभिन्न चरणों (Stages) में विभाजित किया जाता है और इसका उपयोग स्रोत (Source) से गंतव्य (Destination) तक सबसे छोटा या सबसे लंबा पथ खोजने के लिए किया जाता है।

मल्टीस्टेज ग्राफ की विशेषताएँ (Characteristics of Multistage Graph)

  • यह डायरेक्टेड (Directed) और वेटेड (Weighted) ग्राफ होता है।
  • वर्टिस को विभिन्न चरणों (Stages) में विभाजित किया जाता है।
  • हर एज (Edge) केवल अगले चरण (Next Stage) में मौजूद वर्टिस को जोड़ता है।
  • इसका उपयोग शॉर्टेस्ट पाथ (Shortest Path) और लॉन्गेस्ट पाथ (Longest Path) समस्याओं के समाधान के लिए किया जाता है।

मल्टीस्टेज ग्राफ में शॉर्टेस्ट पाथ एल्गोरिदम (Shortest Path Algorithm in Multistage Graph)

हम डायनामिक प्रोग्रामिंग (Dynamic Programming) तकनीक का उपयोग करके स्रोत से गंतव्य तक न्यूनतम लागत (Minimum Cost) वाला पथ खोज सकते हैं।

एल्गोरिदम (Algorithm for Shortest Path in Multistage Graph)

1. सभी वर्टिस को एक निश्चित चरणों (Stages) में विभाजित करें।
2. एक cost[] नामक सूची बनाएँ और सभी वर्टिस की लागत को ∞ (अनंत) से प्रारंभ करें।
3. गंतव्य वर्टेक्स (Destination Vertex) की लागत को 0 सेट करें।
4. प्रत्येक वर्टेक्स के लिए, उसके सभी अगले स्टेज के वर्टिस की लागत को अपडेट करें:
   cost[u] = min(cost[u], weight(u, v) + cost[v])
5. स्रोत वर्टेक्स (Source Vertex) की लागत shortest path होगी।

मल्टीस्टेज ग्राफ का उदाहरण (Example of Multistage Graph)

माना कि हमारे पास निम्नलिखित ग्राफ है:

स्रोत (Source) गंतव्य (Destination) वजन (Weight)
S A 1
S B 2
A C 3
A D 6
B C 2
B D 4
C T 4
D T 1

इस मल्टीस्टेज ग्राफ में सबसे छोटा पथ (Shortest Path) खोजने के लिए:

  • हम गंतव्य (T) से पीछे की ओर गणना शुरू करेंगे।
  • सबसे छोटा पथ: S → B → C → T
  • कुल लागत: 2 + 2 + 4 = 8

मल्टीस्टेज ग्राफ एल्गोरिदम की समय जटिलता (Time Complexity of Multistage Graph Algorithm)

  • डायनामिक प्रोग्रामिंग द्वारा: O(V + E) (जहाँ V = वर्टिस और E = एजेस)
  • बेलमैन-फोर्ड एल्गोरिदम द्वारा: O(V × E)

मल्टीस्टेज ग्राफ के अनुप्रयोग (Applications of Multistage Graph)

  • नेटवर्क डिज़ाइन (Network Design)
  • प्रोजेक्ट शेड्यूलिंग (Project Scheduling)
  • ट्रैवलिंग सेल्समैन प्रॉब्लम (Traveling Salesman Problem)
  • ऑप्टिमल रूट फाइंडिंग (Optimal Route Finding)

निष्कर्ष

मल्टीस्टेज ग्राफ एक प्रभावी तकनीक है, जिसका उपयोग न्यूनतम या अधिकतम लागत के मार्ग को खोजने के लिए किया जाता है। इसे हल करने के लिए डायनामिक प्रोग्रामिंग तकनीक सबसे प्रभावी होती है।

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