Free Convection Heat Transfer के लिए Dimensional Analysis कैसे करें?

Free (Natural) Convection में fluid motion buoyancy forces के कारण स्वयं उत्पन्न होती है। ऐसे problems में कई variables होते हैं, इसलिए Dimensional Analysis (Buckingham π Theorem) से उन्हें कुछ dimensionless numbers में बदलकर general correlations बनाई जाती हैं। यहाँ हम step-by-step free convection के लिए π-terms निकालना सीखेंगे।

Problem Setup: Vertical/Horizontal Plate पर Free Convection

Heat transfer coefficient h को निम्न variables affect करते हैं: fluid properties और geometry/ΔT.

• h (W/m²·K), k (W/m·K), ρ (kg/m³), μ (Pa·s), β (1/K), c_p (J/kg·K), α = k/(ρc_p) (m²/s)
• g (m/s²), ΔT = |T_s − T_∞| (K), L = characteristic length (m)

Step-by-Step: Buckingham π Theorem

1. Variables चुनें (n): {h, k, ρ, μ, β, c_p, g, ΔT, L} → n = 9
2. Fundamental dimensions (m): M, L, T, Θ → m = 4
3. π-groups की संख्या: n − m = 5
4. Repeating variables ऐसे चुनें जिनसे सभी dimensions cover हों और जिनमें कोई pure dimensionless न हो: {ρ, μ, k, L} या {ρ, μ, L, ΔT} आदि।
5. π-terms बनाएं: Algebraic combination से dimensionless numbers प्राप्त करें।

Resulting Dimensionless Numbers (Free Convection)

• Nusselt Number (Nu) = hL/k → convection बनाम conduction
• Prandtl Number (Pr) = ν/α = (μ/ρ)/(k/ρc_p) → momentum बनाम thermal diffusivity
• Grashof Number (Gr) = g β ΔT L³ / ν² → buoyancy बनाम viscous forces
• कई cases में Rayleigh Number (Ra) = Gr·Pr भी उपयोगी होता है।

General Correlation (Free Convection)

Buckingham π से प्राप्त functional form:

Nu = f(Gr, Pr)   या   Nu = f(Ra, Pr)

Practical correlations अक्सर power-law रूप में लिखी जाती हैं:

Nu = C (Gr·Pr)ⁿ = C Raⁿ

जहाँ C और n geometry, surface orientation और flow regime (laminar/turbulent) पर depend करते हैं।

Physical Interpretation

• Gr ↑ (उच्च ΔT, बड़ा L, या कम ν) ⇒ buoyancy dominant ⇒ convection strong ⇒ Nu ↑
• Pr fluid की thermal vs momentum diffusion बताता है (gases ~ O(1), oils ≫ 1, liquid metals ≪ 1)
• Nu सीधे h से जुड़ा है: h = (Nu·k)/L

Worked Outline (π-formation demo)

एक π-group: π₁ = Nu = hL/k

दूसरा: π₂ = Gr = g β ΔT L³ / ν² (जहाँ ν = μ/ρ)

तीसरा: π₃ = Pr = ν/α = μ c_p / k

शेष π-terms को constant मानकर empirical data से collapse किया जाता है, और Nu को Gr, Pr (या Ra) का function फिट किया जाता है।

Applications

• Electronics heat sinks (passive cooling)
• Building walls/solar chimneys में natural draft
• Hot pipes/tanks की बाहरी सतह पर heat loss

निष्कर्ष

Free convection problems को dimensional analysis से Nu = f(Gr, Pr) या Nu = f(Ra) के रूप में घटाया जाता है। यही framework correlations चुनने/fit करने और design में h evaluate करने का आधार देता है।